Вправи 301 - 368 » 318

318. У прямокутному трикутнику ABC на катеті AC як на діаметрі побудовано коло, що перетинає гіпотенузу AB у точці Е. Через точку E проведено дотичну до кола, яка перетинає катет CB у точці D. Доведіть, що трикутник BDE рівнобедрений. За умовою О — центр кола. АО = ОС = ОЕ = R (радіуси кола). ЕD — дотична до кола. За властивістю дотичних, проведених до кола маємо: ОЕ ⊥ ЕD, тобто ∠ОЕD = 90°, ∠ОСD = 90° (за умовою). Розглянемо ∆АОЕ — прямокутний, рівнобедрений (АО = ОС = R, ∠АОЕ = 90°). ∠А = ∠Е = 90° : 2 = 45°. Розглянемо ДАСВ — прямокутний (∠С = 90°). Якщо ∠А = 45°, тоді ∆АСВ — рівнобедрений (∠В = 45°). ∠ЕDС = 90°, тоді ∠ЕDВ = 90°. Розглянемо ∆ЕDВ — прямокутний. ∠D = 90°, ∠В = 45°, отже, ∠Е = 45°, тому ∆DВЕ — рівнобедрений. ЕD = DВ. Доведено.