Вправи 301 - 368 » 312

312. До кола, описаного навколо трикутника ABC, проведено в точці В дотичну, яка перетинає пряму AC у точці D. Відрізок BM — бісектриса трикутника ABC. Доведіть, що BD = MD. За умовою ВМ — бісектриса ∠ABC. За означенням бісектриси кута маємо: ∠DMB = ∠CBM = 1/2∠ABC. Нехай ∠АВМ = х, тоді ∠CBM = х. ∠АСВ — вписаний кут, який опирається на хорду AB. ∠АСВ = 1/2∪АВ, ∠ABD = 1/2∪АВ. Нехай ∠АСВ = у, тоді ∠АВО = у. За аксіомою вимірювання кутів маємо: ∠МВD = ∠МВА + ∠ABD, ∠МВD = х + у. ∠DМВ — зовнішній кут ∆СМВ. За теоремою про зовнішній кут маємо: ∠DМВ = ∠МСВ + ∠СВМ, ∠DМВ = х + у. Отже, ∠DМВ = ∠МВD. Звідси маємо ∆DМВ — рівнобедрений. DМ = DВ. Доведено.