Вправи 301 - 368 » 321

321. Бісектриси кутів А, В і C трикутника ABC перетинають описане навколо нього коло в точках A1, B1 і C1 відповідно. Доведіть, що A1B1 ⊥ CC1. За умовою О — точка перетину бісектрис ∆AВС. Отже, О — центр кола, вписаного у ∆АВС. За задачею № 318 маемо, що АВ1 = В1С. Отже, ∆АВ1С — рівнобедрений, ВВ1 ⊥ АС. Аналогічно АА1 ⊥ ВС і СС1 ⊥ АВ. Крім цього маємо ∆АВ1С, ∆СA1В, ∆ВС1А — рівнобедрені, тому у ∆АC1В: С1O — медіана, бісектриса і висота, АN = NВ, С1N ⊥ АВ. Тому у ∆AОВ: ОN — медіані і висота, тому ∆AОВ — рівнобедрений. За властивістю кутів при основі рівнобедреного трикутника маємо: ∠ОАN = ∠ОВN. Отже, ∠АВО = ∠ОВА (внутрішні різносторонні). ∠ВАО = ∠ОА1В (внутрішні різносторонні). Тоді за ознакою паралельних прямих маємо: АВ ∥ A1В1 і СС1 ⊥ АВ, отже, A1В1 ⊥ СС1. Доведено.