§ 3. Розв'язування прямокутних трикутників » 604

У трикутнику ABC відомо, що AB = BC, BD і CK — висоти трикутника, cos А = 3/7. Знайдіть відношення CK : BD. За умовою BD/AM = 3/1. Нехай BD = Зх, AM = х. Розглянемо ∆CBD –прямокутний (∠D = 90°). За означенням косинуса гострого кута прямокутного трикутника маємо: cos ∠C = CD/CB. Розглянемо ∆АМС — прямокутний (∠М = 90°). Аналогічно маємо: сов∠С = CM/AC. За умовою ∆АВС — рівнобедрений (АВ = ВС). За умовою ВD — висота. За властивістю висоти рівнобедреного трикутника маємо: ВD — медіана, отже, АС = 2DС. Розглянемо ∆АМС і ∆ВDС — прямокутні (∠ВDС = ∠АМС = 90°), ∠С — спільний кут. За І ознакою подібності трикутників маємо: ∆АМС ~ ∆ВDС. За означенням подібних фігур маємо: BD/AM = DC/MC; DC/NC = 3/1; BD/AM = BC/AC; BC/AC = 3/1; DC = 3MC; BC = 3AC; AC = BC/3; AC = 2DC; отже, AC = BC/3 = 2DC; BC = 6DC; DC = BC/6; BC/6 = 3MC; BC = 18MC; DC = 18MC/6 = 3MC. sin∠C = 3MC/18MC = 3/18 = 1/6. Відповідь: 1/6.