§ 3. Розв'язування прямокутних трикутників » 563

Радiус кола, описаного навколо прямокутного трикутника АВС (∠С = 90°), дорiвнюе 15 см, АС = 24 см. Вiдрiзки ВМ i СК – медiани трикутника АВС, вiдрiзок AD – йога бiсектриса. 3найдiть: 1) гiпотенузу АВ; 2) катет ВС; 3) медiану СК; 4) медiану ВМ; 5) периметр трикутника АВС; 6) бiсектрису AD. 1) Радіус кола, описаного навколо прямокутного трикутника, дорівнює половині гіпотенузи. Тоді АВ = 2 • 15 = 30 см. 2) За теоремою Піфагора АВ2 = АС2 + ВС2; ВС2 = АВ2 – АС2; ВС = √(900- 576 ) = √324 = 18 см. 3) Радіус кола, описаного навколо прямокутного трикутника, дорівнює медіані, проведеної до гіпотенузи. Тоді СК = 15 см. 4) Розглянемо ∆СМВ, ∠С = 90°, за теоремою Піфагора ВМ2 = СВ2 + СМ2. За умовою ВМ – мідіана, тоді СМ = МА = АС : 2 = 24 : 2 = 12 см. ВМ2 = ВС2 + СМ2; ВМ2 = 324 + 144 = 468; ВМ = √468 = 6√13 см. 5) Р∆АВС = 24 + 30 + 18 = 72 см. 6) З теореми про властивість бісектриси трикутника: СD/AC = DB/AB; СD/DB = AC/AB = 24/30 = 4/5. Нехай х (см) — одна частина, тоді CD = 4х (см), DВ = 5х (см). 4х + 5х = 18; 9х = 18; х = 2. CD = 4 • 2 = 8 см; DВ = 5 • 2 = 10 см. Розглянемо ∆CAD, ∠С = 90°, за теоремою Піфагора AD2 = AC2 + СD2; AD = √(576+64) = √(576+64) = √640 = 8√10 см.