§ 3. Розв'язування прямокутних трикутників » 524

У рівнобічну трапецію вписано коло. Точка дотику ділить бічну сторону на відрізки завдовжки 3 см і 27 см. Знайдіть висоту трапеції. Висота трапеції дорівнює діаметру кола, вписаному у цю трапецію. За умовою О — центр кола, вписаного у трапецію. Як відомо, центр вписаного кола є точка перетину бісектрис кутів трапеції. Отже, ОС — бісектриса ∠ВСО, ОD — бісектриса ∠СDА. За означенням бісектриси кута маємо: ∠ВСО = ∠ОСD = 1/2∠ВСD; ∠СDO =∠ОDА = 1/2∠СDА. За властивістю кутів рівнобічної трапеції маємо: ∠ВСD + ∠СDА = 180°, отже, ∠ОСD + ∠СDO = 90°, ∠СОD = 90°. Розглянемо ∆СОD. За метричними співвідношеннями у прямокутному трикутнику маємо: якщо ОN ⊥ СD (ОN — радіус вписаного кола), ОN — висота ∆СОD. ОN2 = СN • ND; ОN2 = 3 • 27; ON2 = 81; ОN = 9 см, СР = 2ON = 18 см. Відповідь: 18 см.