§ 3. Розв'язування прямокутних трикутників » 527

На сторонах AB, BC, CD і AD квадрата ABCD позначили відповідно точки М, N, K i E так, що чотирикутник MNKE є прямокутником, сторони якого паралельні діагоналям квадрата. Знайдіть периметр прямокутника MNKE, якщо діагональ квадрата ABCD дорівнює 7 см. За умовою АВСD — квадрат, АС і ВD — діагоналі. За властивістю діагоналей квадрата маємо, що діагоналі квадрата утворюють з його сторонами кути 45°. За умовою МЕ ∥ ВD, АВ — січна. За ознакою паралельності прямих маємо: ∠DВА = ∠ЕМА = 45° (відповідні). Аналогічно, МЕ ∥ ВD, АD — січна, ∠ВDА = ∠МЕА = 45°. Отже, ∆МАЕ — прямокутний, рівнобедрений, АМ = АЕ, ∆АРМ — прямокутний, рівнобедрений, ∠АРМ = 90°, АР = РМ. Аналогічно з ∆АРЕ маємо: АР = РЕ. Отже, Р — середина сторони МЕ, АР — медіана ∆ЕАМ; АО — медіана ∆DАВ. ∆ЕАМ ~ ∆DАВ (∠ВDА = ∠МЕА = 45°, ∠А — спільний кут). За І ознакою подібності трикутників МЕ — середня лінія ∆DАВ. За теоремою про середню лінію трикутника маємо: МЕ = 1/2ВD; МЕ = 7 : 2 = 3,5 (см). Отже, РМNКЕ = 4МЕ; РМNКЕ = 4 • 3,5 = 14 (см). Відповідь: 14 см.