Задачі підвищеної складності » 1108

Доведи, що кожну сторону трикутника із центра вписаного в нього кола видно під тупим кутом. Дано: ∆АВС, описаний навколо кола. Довести: ∠АОВ, ∠ВОС, ∠АОС – тупі. Доведення ОА, ОВ, ОС – бісектриси кутів ∆АВС. ∆АОС: ∠АОС = 180° – 0,5(∠А + ∠С); ∠С = 180° – (∠А + ∠В). ∠АОС = 180° – 0,5(∠А + 180° – (∠А + ∠В)) = 180° – 0,5(∠А + 180° – ∠А – ∠В) = 180° – 0,5(180° – ∠В) = 90° + 0,5∠В. Аналогічно доводиться, що ∠АОВ = 90° + 0,5∠С; ∠ВОС = 90° + 0,5∠А. Отже, ∠АОВ, ∠ВОС, ∠АОС – тупі.