Задачі підвищеної складності » 1105

Гострі кути прямокутного трикутника відносяться як 1 : 3. Доведи, що бісектриса його прямого кута дорівнює одному з катетів. Дано: ∆АВС (∠С = 90°); ∠А : ∠В = 1 : 3. СК – бісектриса. Довести: СК = СВ. Доведення Нехай ∠А = х°, тоді ∠В = 3х°. ∠А + ∠В = 90°; х + 3х = 90°; 4х = 90°; х = 22,5°. ∠А = 22,5°; ∠В = 3 • 22,5 = 67,5°. ∆ВСК (∠ВСК = 45°): ∠ВСК = 180° – (∠ВСК + ∠В) = 180° – (45° + 67,5°) = 67,5°. Отже, ∠ВКС = ∠В, тоді ∆ВСК – рівнобедрений; СК = СВ.