Задачі підвищеної складності » 1107

Висота й медіана, проведені з вершини трикутника, ділять його кут на три рівні частини. Знайди кути цього трикутника. Дано: ∆АВС; СН – висота; СМ – медіана; ∠АСМ = ∠МСН = ∠НСВ. Знайти: ∠А; ∠В; ∠С. Розв’язання Продовжимо пряму СМ так, щоб СМ = МК, тоді т. К належить описаному колу. Звідси ∠СКВ = ∠САВ і ∠СВК = ∠СНА = 90°. СК – діаметр описаного кола, а оскільки АМ = МВ, то й АВ – діаметр. Отже, ∠С = 90°, тоді ∠АСМ = МСН = ∠МСВ = 1/3 • 90° = 30°. ∆СНВ (∠Н = 90°): ∠В = 90° – ∠НСВ = 90° – 30° = 60°. ∆АВС (∠С = 90°): ∠А = 90° – ∠В = 90° – 60° = 30°. Відповідь: 90°; 30°; 60°.