Задачі підвищеної складності » 1099

Доведи, що сума медіан трикутника менша від його периметра, але більша за півпериметр. Дано: ∆АВС; АК, ВМ, СL – медіани. Довести: 1/2Р∆ < AK + BM + CL < P∆. Доведення AK < AC, BM < AB, CL < BC, тоді AK + BM + CL < P∆ABC; AK > 1/2AC, BM > 1/2AB, CL > 1/2BC, тоді AK + BM + CL > 1/2P∆ABC. Отже, 1/2P∆ABC < AK + BM + CL < P∆ABC.