РОЗДІЛ 2. Чотирикутники. Вправи 72 - 200 » 174

За якої умови точка перетину бісектрис двох кутів паралелограма, що прилягають до однієї сторони, лежить на протилежній стороні? ABCD — паралелограм. AK — бісектриса ∠A. DK — бісектриса ∠D. К ∈ ВС. ∠BAK = ∠KAD, a ∠KAD = ∠BKA (внутрішні різвосторонні при AD ∥ ВС і січній AK). Тому ∠BAK = ∠BKA. Звідси ∆ABK — рівнобедрений, AB = BK. Аналогічно ∆KCD — ріввобедрений, тому КС = CD. Оскільки AB = CD, то BK = КС. Оскільки BK = АВ, то ВС = 2ВК = 2АВ. Отже, бісектриси кутів паралелограма, що прилеглі до однієї сторони, перетинаються в точці, що лежить на протилежній стороні за умови, що одна сторона паралелограма вдвічі більша за другу.