РОЗДІЛ 2. Чотирикутники. Вправи 72 - 200 » 199

На сторонах BC і AD паралелограма ABCD позначено точки E і F так, що ∠AEC = ∠AFC (мал. 67). Доведіть, що чотирикутник AECF – паралелограм. ABCD — паралелограм, тому AB = CD. ∠B = ∠D; ∠BEA = 180° – ∠AEC; ∠DFC = 180° – ∠AFC. Оскільки ∠AEC = ∠AFC (за умовою), то ∠BEA = ∠DFC. ∠BAE = 180° – ∠B – ∠BEA; ∠DCF = 180° – ∠D – ∠DFC. Оскільки ∠BEA = ∠DFC, ∠B = ∠D, тo ∠BAE = ∠DCF. ∆ABE = ∆CDF (II ознака). AB = CD; ∠ABE = ∠CDF; ∠BAE = ∠DCF. 3 рівності трикутників: AE = CF. BE = DF. EC = BC – BE. AF = AD – FD. Оскільки BC = AD (протилежні сторони паралелограма), BE = FD, то EC = AF. У чотирикутнику AECF протилежні сторони рівні (АЕ = CF, EC = AF), тому AECF — паралелограм.