РОЗДІЛ 2. Чотирикутники. Вправи 72 - 200 » 121

121. Бісектриси зовнішніх кутів чотирикутника ABCD, перетинаючись, утворюють чотирикутник MNKP (мал. 28). Доведіть, що сума протилежних кутів чотирикутника MNKP дорівнює 180°. Зовнішній кут при вершині A дорівнює 180° — ∠A. Зовнішній кут при вершині в дорівнює 180° — ∠B. AN — бісектриса зовнішнього кута при вершині А. BN — бісектриса зовнішнього кута при вершині В. З ∆АNВ: ∠ANB = 180° – 1/2(180° – ∠A) – 1/2(180° – ∠B) = 180° – 90° + 1/2∠A – 90° + 1/2∠B = 180° – 90° + 1/2∠A – 90° + 1/2∠B = 1/2∠A + 1/2∠B. Аналогічно, розглядаючи ∆DCP, маємо: ∠DPC = 1/2∠C + 1/2∠D; ∠ANB + ∠DPC = 1/2∠A + 1/2∠B + 1/2∠C + 1/2∠D = 1/2(∠A + ∠B + ∠C + ∠D) = 1/2 • 360° = 180°. Отже, ∠N + ∠P = 180°. Аналогічно ∠M + ∠K = 180°.