Вправи 101 - 200 » 172

172. У прямокутному трикутнику через точку перетину бісектриси прямого кута та гіпотенузи проведено прямі, паралельні катетам. Доведіть, що чотирикутник, який утворився, є квадратом. Нехай дано ∆АВС, ∠С = 90°, СK — бісектриса, пр. а ∥ АС, пр. b ∥ ВС, пр. b ∩ пр. а = т. K. Доведемо, що NKМС — квадрат. Розглянемо чотирикутник NKМС. NK ∥ ВС, NС ∥ KМ, тоді NKМС — паралелограм. ∠С = 90°, тоді паралелограм NKМС — прямокутник. Розглянемо ∆СХМ, ∠СМK = 90°, ∠КСМ = 90° : 2 = 45° (СK — бісектриса), ∠СКМ = 45°. ∆СKМ — рівнобедрений, СМ = МК. Оскільки у прямокутнику NKМС сусідні сторони рівні, то NKМС — квадрат.