Вправи 401 - 500 » 468 (1.2)

Відкриття ірраціональності 1. Доведіть, що число √3 ірраціональне. Нехай число √3 — раціональне, тоді його можна подати у вигляді нескоротного дробу m/n, де m i n — натуральні числа. √3 = m/n; (√3)2 = (m/n)2; 3 = m^2/n_3 ; m2 = 3n2. З останньої рівності випливає, що m2 кратне трьом, m = 3k, де k ∈ N. (3k)2 = 3n2; 9k2 = 3n2, звідки випливає, що n2, а отже і число n кратне трьом. Таким чином, чисельник і знаменник дробу m/n кратні трьом. Цей дріб скоротний. Отримали суперечність. √3 — ірраціональне число. Доведено.