4. Коло і круг » 688

Доведіть, що радіус кола, описаного навколо рівностороннього трикутника, удвічі більший за радіус кола, вписаного в нього. 1) Нехай ∆ABC — рівносторонній. BK і CL — його бісектриси та серединні перпендикуляри. BK і CL перетинаються у точці О. 2) Точка O є центром як вписаного у ∆ABC кола, так і центром описаного кола. OK = r — радіус вписаного кола; OC = R – радіус описаного кола. 3) Оскільки CO — бісектриса кута ACB, то ∠KCO = 60° = (∠АВС)/2 = (60°)/2 = 30°. 4) За властивістю катета, що лежить проти кута 30°, у ∆КОС отримаємо, що ОК = ОС/2, тобто r = R/2, що й треба було довести.