4. Коло і круг » 815

Доведіть, що центр кола, описаного навколо рівностороннього трикутника, збігається із центром кола, вписаного в цей трикутник. 1) Нехай ∆ABC — рівносторонній, AL і BK – бісектриси, що перетинаються в точці О. 2) Тоді точка О — центр вписаного кола. 3) У рівносторонньому трикутнику бісектриси є також висотами і медіанами, а тому й серединними перпендикулярами до сторін трикутника. 4) Отже, точка O — точка перетину серединних перпендикулярів до сторін трикутника. Тому точка O — центр описаного кола. 5) Центр кола, описаного навколо рівностороннього трикутника, збігається з центром кола, вписаного в цей трикутник, що й треба було довести.