§ 1. Лінійне рівняння з однією змінною » 131

Знайдіть усі натуральні значення n, при яких значення кожного з виразів n – 2, n + 24, n + 26 є простим числом. Усі натуральні числа можна поділити на три групи за їх остачами від ділення на 3: n = 3k –2; n = 3k – 1; n = 3k, де — будь–яке натуральне число. 1. Нехай n = Зk – 2, тоді n + 26 = 3k – 2 + 26 = 3k + 24 = 3(k + 8) — складене число. Отже група чисел виду n = 3k – 2 не містить шуканого числа. 2. Нехай n = 3k – 1, тоді n – 2 = 3k – 1 – 2 = 3k – 3 = 3(k – 1). Число 3(k – 1) для усіх значень k > 2 є складеним. Якщо k = 1, то число n – 2 = 3(k – 1) = 0 і не є натуральним числом. Якщо k = 2, то число n – 2 = 3(2 – 1) = 3 і n = 3 + 2 = 5 є простим числом. Якщо m = 5, то значення виразів n + 24 і n + 26 відповідно дорівнюють 29 і 31 і є простими числами. Отже, група чисел виду n = 3k – 1 містить одне шукане число — число 5. 3. Нехай n = 3k, тоді n + 24 = Зk + 24 = 3(k + 8) — складене число. Отже, група чисел виду n = 3k не містить шуканого числа. Відповідь: n = 5.