Роздiл 2. Вирази i тотожностi » 260

Якою цифрою закінчується число: 1) Розглянемо степені числа 9: 91 = 9, 92 = 81, 93 = 729, ... Як бачимо, останні цифри степенів утворюють групу з 2–х цифр, що циклічно повторюються: 9, 1, 9, 1. Визначимо, скільки повних циклів по 2 цифри вміщається у 209: 209 : 2 = 104 (ост. 1). Отже, обчислюючи 209209, ми отримаємо 104 повних цикли і один неповний: 209–й степінь дає першу цифру із циклу — цифру 9. 2) Розглянемо степені числа 3: 31 = 3, 32 = 9, 33 = 27, З4 = 81, З5 = 243, З6 = 729, ... Як бачимо, останні цифри степенів утворюють групу з 4–х цифр, що циклічно повторюються: 3, 9, 7, 1. Визначимо, скільки повних циклів по 4 цифри вміщається у 8: 8 : 4 = 2. Отже, обчислюючи 20232015, ми отримаємо 2 повних цикли: 8–й степінь дає останню цифру із циклу — цифру 1. 3) Розглянемо степені числа 7: 71 = 7, 72 = 9, 73 = 343, 74 = 2401, 75 = 16807, 76 = 117649, ... Як бачимо, останні цифри степенів утворюють групу з 4–х цифр, що циклічно повторюються: 7, 9, 3, 1. Визначимо, скільки повних циклів по 4 цифри вміщається у 82: 82 : 4 = 20 (ост.2). Отже, обчислюючи 2782, ми отримаємо 20 повних циклів і два неповних: 82–й степінь дає другу цифру із циклу — цифру 9. 4) Розглянемо степені числа 4: 41 = 4, 42 = 16, 43 = 64, 44 = 256, ... Як бачимо, останні цифри степенів утворюють групу з 2–х цифр, що циклічно повторюються: 4, 6. Визначимо, скільки повних циклів по 2 цифри вміщається у 55: 55 : 2 = 27 (ост.1). Отже, обчислюючи 4455, ми отримаємо 27 повних циклів і два неповних: 55–й степінь дає першу цифру із циклу — цифру 4.