Контрольні роботи. ВАРІАНТ 1 » Кр.5 (6.2)

До кола з центром O проведені дотичні AB, BC і CM, ∠BOC = 90° (мал. 3). Доведіть, що прямі AB і CM паралельні. Дано: коло (О; R), AB, BC, CM – дотичні; ∠ВОС = 90°. Довести: АВ ∥ СМ. Доведення: 1) АВ ⊥ ОА, ВС ⊥ OF, MC ⊥ OM (за властивістю дотичної); 2) AO = OF = OM = R; 3) AB = BF; FC = MC (за властивістю відрізків дотичних, проведених з однієї точки). 4) ∆АВО = ∆FBO, ∆FOC = ∆MOC (за третьою ознакою рівності трикутників); 5) ∠АВО = ∠FBO = x, тоді ∠AOB = ∠FOB = 90° – x; 6) в ∆ВОС: ∠ВОС = 90°; ∠ОВС = x (із п. 5) тоді ∠ОСВ = 90° – x. Тому ∠OCM = 90° – x (∆FOC = ∆MOC). 7) Розглянемо прямі АВ і МС, ВС – січна ∠АВС = ∠АВО + ∠OBF = x + x = 2x; ∠MCB = ∠MCO + ∠OCB = 90° – x + 90° – x = 180° – 2x; ∠ABC + ∠MCB = 2x + 180° – 2x = 180° (внутрішні односторонні кути). Таким чином АВ ∥ СМ.