Тема 6. ТРИКУТНИКИ » 30.22

Доведіть, що коли медіана трикутника є його бісектрисою, то трикутник — рівнобедрений. Примітка. Твердження задачі 30.22 можна вважати ознакою рівнобедреного трикутника. 1) Нехай BK – медіана і бісектриса ∆ABC. 2) Продовжимо BK за точку K на відстань відрізка BK (BK=KM). 3) ∠AKB = ∠CKM(як вертикальні). 4) ∆AKB = ∆CKM(за першою ознакою), тому ∠CMK = ∠ABK i AB = MC. 5) Оскільки ∠ABK = ∠CBK i ∠CMK = ∠ABK, то ∠CBK= ∠CMK. Тому ∆BCM– рівнобедрений (за ознакою) і BC = CM. 6) AB = MC і BC = СМ, тому AB = BC, тобто ∆ABC — рівнобедрений, що й треба було довести.