Відповіді до вправ 902 - 1000 » 1000

Доведіть, що для будь-якого значення х значення виразу х8 - х5 + х2 - х + 1 є числом додатним. Розглянемо вираз x8 – x5 + x2 – x + 1. 1) Якщо х ≤ 0, то х8 ≥ 0, x5 ≤ 0, тоді –x5 ≥ 0, x2 ≥ 0, x ≤ 0, тоді –x ≥ 0,1 > 0. Отже, x8+ (–x5) + x2 + (–x)+ 1 > 0 ; 2) 0 < x ≤ 1. Врахувавши, що якщо 0 < x ≤ 1,то 0 < xn ≤ 1, одержимо: х8 – x5 + х2 – x + 1 = х8 + x2(1 – х3) + (1 – x). 1 – x3 ≥ 0,1 – x ≥ 0, x8 > 0, x2 >0, тому х8 – х5 + х2 – х + 1 > 0; 3) якщо x > 1, то xn > 1. x8 – x5 + x2 – x + 1 = x5(x3 – 1) + х( x – – 1) + 1. Отже, x5 > 1, x3 – 1 > 0, х > 0, х – 1 > 0, тому x8 – x5 + + x2 – х + 1 > 0. Отже, x8 – x5 + x2 – х + 1 > 0 для будь–якого значення х.