Тема 8 » 29

Доведіть, що в нерівнобедреному прямокутному трикутнику бісектриса прямого кута ділить кут між висотою і медіаною, проведеними з тієї самої вершини, навпіл. 1) Нехай у трикутнику ABC: ∠C = 90°; ∠A = α; ∠B < ∠A. Тому α > 45°. 2) CM — медіана ∆ABC; CL — бісектриса ∆ABC; CK — висота ∆ABC. 3) У ∆CKA: ∠KCA = 90° – α. 4) ∠LCA = (90°)/2 = 45°. 5) ∆CМA — рівнобедрений, оскільки CM = АВ/2 і AM = АВ/2. Тому ∠МCA = α. 6) ∠MCL = ∠MCA – ∠LCA = α – 45°. 7) ∠LCK = ∠LCA – ∠KCA = 45° – (90° – α) = α – 45°. 8) Отже, ∠MCL = ∠LCK, а тому бісектриса CL ділить кут між висотою CK і медіаною CМ навпіл, що й треба було довести.