Відповіді до вправ підручника: 6.41

6.41. Спільна хорда двох кіл, що перетинаються, є стороною правильного трикутника, вписаного в одне коло, і стороною квадрата, вписаного в друге коло. Довжина цієї хорди дорівнює a .

Знайдіть відстань між центрами кіл, якщо вони лежать:

1) по різні боки від хорди; 2) по один бік від хорди.

1) АВDЕ — квадрат, АВ = а;

О₁К ⊥ АВ; О₁К = r — радіус кола, вписаного в квадрат;

АВ= 2O₁K; O₁K = $\frac{\mathrm{AB}}{2}$ = $\frac{a}{2}$;

∆АВС — правильний трикутник. ОК ⊥ АВ, ОК = r₁ — радіус кола, вписаного в трикутник;

АВ = 2OК • $\sqrt{3}$;

ОК = $\frac{\mathrm{AB}}{2\sqrt{3}}$ = $\frac{a}{2\sqrt{3}}$; OO₁ = $\frac{a}{2}$ + $\frac{a}{2\sqrt{3}}$ = $\frac{a(3+\sqrt{3})}{6}$.

2) O₁O = $\frac{a(3-\sqrt{3})}{6}$.