Відповіді до вправ підручника: 5.43

5.43. Доведіть, що

Нехай a, b, c — сторони, до яких проведено висоти h₁, h₂, h₃; S — площа, p — півпериметр трикутника.

Оскільки

S = $\frac{1}{2}$ah₁ = $\frac{1}{2}$bh₂ = $\frac{1}{2}$ch₃, то $\frac{1}{h₁}$ = $\frac{a}{2S}$, $\frac{1}{h₂}$ = $\frac{b}{2S}$, $\frac{1}{h₃}$ = $\frac{c}{2S}$.

За формулою S = pr маємо:

$\frac{1}{h₁}$ + $\frac{1}{h₂}$ + $\frac{1}{h₃}$ = $\frac{a+b+c}{2S}$ = $\frac{2p}{2\mathrm{pr}}$ = $\frac{1}{r}$.

Що й треба було довести.