Відповіді до вправ підручника: 5.37

5.37. У трикутнику ABC кут A дорівнює $\alpha$, а висоти BD і CE дорівнюють відповідно h₁ і h₂. Знайдіть площу трикутника ABC.

∆ABC; $\angle$A = $\alpha$; BD = h₁; BD $\perp$ AC; CE = h₂; CE $\perp$ AB.

S – площа ∆ABC.

S = $\frac{1}{2}$BD • AC, AC = $\frac{2S}{\mathrm{BD}}$ = $\frac{2S}{h_1}$;

S = $\frac{1}{2}$CE • AB, AB = $\frac{2S}{\mathrm{CE}}$ = $\frac{2S}{h_2}$;

S = $\frac{1}{2}$AB • AC • sin $\alpha$ = $\frac{1}{2}$ • $\frac{2S}{h_1}$ • $\frac{2S}{h_2}$ • sin $\alpha$;

S = $\frac{2S^2•\sin \alpha }{h_1•h_2}$; 1 = $\frac{2S•\sin \alpha }{h_1•h_2}$; S = $\frac{h_1•h_2}{2\sin \alpha }$.

Відповідь: $\frac{h_1•h_2}{2\sin \alpha }$.