Відповіді до вправ підручника: 4.13

4.13. У трикутнику ABC відомо, що AB = BC = 10 см, $\angle$A = 30°. Знайдіть: 1) сторону AC; 2) медіану CM; 3) бісектрису AD; 4) радіус описаного кола трикутника ABC.

∆ABC; АВ = ВС = 10 cм; $\angle$A = $\angle$C = 30°;

$\angle$B = 180° – 30° – 30° = 120°.

1) За теоремою косинусів: АС² = АВ² + ВС² – 2АВ • ВС • cos $\angle$B = 100 + 100 – 2 • 100 • cos 120° = 200 + 200 • 0,5 = 300;

АС = $\sqrt{300}$ = 10$\sqrt{3}$ (см).

2)

∆АМС: СМ — медіана.

МС² = АМ² + АС² – 2АМ • АС • cos 30° = 25 + (10$\sqrt{3}$)² – 2 • 5 • 10$\sqrt{3}$ • $\frac{\surd 3}{2}$ = 300 + 25 – 150 = 175; МС = 5$\sqrt{7}$ (см).

3)

AD — бісектриса; $\angle$1 = $\angle$2 = 35°.

∆АОС: $\angle$ADВ = 180° – 120° – 15° = 60° – 15° = 45°;

$\frac{\mathrm{AD}}{\sin 120°}$ = $\frac{\mathrm{AB}}{\sin 45°}$;

AD = $\frac{\mathrm{AB}•\sin 45°}{\sin 120°}$ = $\frac{10•\frac{\surd 3}{2}}{\frac{\surd 2}{2}}$ = 5$\sqrt{6}$ (см).

4) R = $\frac{\mathrm{AB}}{2\sin \angle C}$ = $\frac{10}{2•\sin 30°}$ = $\frac{10}{2•\frac{1}{2}}$ = 10 (см).

КЛИМ.