Відповіді до вправ підручника: 4.12

4.12. Діагональ AC рівнобічної трапеції ABCD (BC $\parallel$ AD) дорівнює

8 см, $\angle$CAD = 38°, $\angle$BAD = 72°. Знайдіть: 1) сторони трапеції; 2) радіус описаного кола трикутника ABC.

ABCD — рівнобічна трапеція (ВС $\parallel$ AD);

AC = 8 cм; $\angle$CAD = 38°; $\angle$BAD = 72°;

$\angle$BAD = $\angle$CDA = 72°.

1) Знайдемо сторони трапеції.

∆ACD: $\frac{\mathrm{AC}}{\sin \angle D}$ = $\frac{\mathrm{CD}}{\sin \angle A}$;

CD = $\frac{\mathrm{AC}•\sin \angle A}{\sin \angle D}$ = $\frac{8•\sin 38°}{\sin 72°}$ = $\frac{8•\mathrm{0,616}}{\mathrm{0,961}}$ = 5,12 (см); AB = CD = 5,12 (см).

$\frac{\mathrm{AD}}{\sin \angle C}$ = $\frac{\mathrm{AC}}{\sin \angle D}$; $\frac{\mathrm{AD}}{\sin 70°}$ = $\frac{8}{\sin 72°}$;

AD = $\frac{8•\sin 70°}{\sin 72°}$ = $\frac{8•\mathrm{0,94}}{\mathrm{0,951}}$ = 7,9 (см);

$\angle$B = $\angle$C = 180° – 72° = 108°.

∆ABC: $\angle$BCA = 180° – 70° = 38°;

$\angle$BAC = 72° – 38° = 34°; $\frac{\mathrm{AC}}{\sin 108°}$ = $\frac{\mathrm{BC}}{\sin 34°}$;

BC = $\frac{8•\sin 34°}{\sin 108°}$ = $\frac{8•\mathrm{0,559}}{\mathrm{0,961}}$ = 4,7 (см).

2) Знайдемо радіус описаного кола навколо ∆ABC.

R = $\frac{\mathrm{AC}}{2\sin \angle B}$ = $\frac{8}{2•\sin 108°}$ = $\frac{4}{\mathrm{0,951}}$ = 4,2 (см).