Відповіді до вправ підручника: 3.46

3.46. У коло радіуса 1 см вписано п’ятикутник. Доведіть, що сума довжин його сторін і діагоналей менша від 17 см.

Сума довжин сторін вписаного п’ятикутника менша за довжину кола, оскільки кожна сторона коротша за відповідну дугу:

P < 2πR = 2π (см).

П’ятикутник має 5 діагоналей. Кожна з них не більша за діаметр кола, тобто 2 см. Тому сума їхніх довжин не перевищує:

5 • 2 = 10 (см).

Отже, сума довжин усіх сторін і діагоналей:

S < 2π + 10 < 7 + 10 = 17 (см).

Що й треба було довести.