Відповіді до вправ підручника: 3.32

3.32. Основа рівнобедреного трикутника дорівнює а, протилежний

їй кут дорівнює α. Знайдіть бісектрису трикутника, проведену з вершини кута при основі.

∆АВС — рівнобедрений, АВ = ВС;

∠ABC = α; АС = а. АК — бісектриса кута трикутника, проведена з кута при основі.

∠A = ∠C = $\frac{180°-\alpha }{2}$ = 90° = $\frac{\alpha }{2}$;

∠1 = ∠2 = $\frac{180°-\alpha }{4}$ = 45° = $\frac{\alpha }{4}$.

BM ⊥ AC. З ∆ABM: AB = $\frac{a}{2\sin \frac{\alpha }{2}}$.

∆ABK: за теоремою синусів: $\frac{\mathrm{AK}}{\sin \alpha }$ = $\frac{\mathrm{AB}}{\sin \angle \mathrm{BKA}}$;

∠BKA = 180° – α – 45° + $\frac{\alpha }{4}$ = 135° – $\frac{3\alpha }{4}$;

$\frac{\mathrm{AK}}{\sin \alpha }$ = $\frac{a}{2\sin \frac{\alpha }{2}•\sin (135°-\frac{3\alpha }{4})}$;

AK = $\frac{a•\sin \alpha }{2•\sin \frac{\alpha }{2}•\sin (45°+\frac{3\alpha }{4})}$ = $\frac{a•2\sin \frac{\alpha }{2}\cos \frac{\alpha }{2}}{2\sin \frac{\alpha }{2}\sin (45°+\frac{3\alpha }{4})}$ = $\frac{a\cos \frac{\alpha }{2}}{\sin (45°+\frac{3\alpha }{4})}$.