Відповіді до вправ підручника: 3.31

3.31. У трикутнику ABC відомо, що AC = b, ∠A = α, ∠C = γ. Знайдіть

бісектрису BD трикутника.

За теоремою синусів: $\frac{\mathrm{AB}}{\sin \gamma }$ = $\frac{\mathrm{BC}}{\sin \alpha }$; $\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{AD}}$ = $\frac{\mathrm{BC}}{\mathrm{DC}}$ за властивістю бісектриси трикутника.

AD = x; DC = b – x. $\frac{\mathrm{AB}}{x}$ = $\frac{\mathrm{BC}}{b-x}$;

AB • (b – x) = BC • x;

AB • sin α = BC • sin γ;

$\frac{b-x}{\sin \alpha }$ = $\frac{x}{\sin \gamma }$; b • sin γ – x • sin γ = x • sin α;

x(sinγ + sinα) = b • sin γ;

x = $\frac{b•\sin \gamma }{\sin \alpha +\sin \gamma }$ = $\frac{b•\sin \gamma }{2\sin \frac{\alpha +\gamma }{2}\cos \frac{\alpha -\gamma }{2}}$;

∠B = 180° – (α + γ).

∆ABC. $\frac{\mathrm{AB}}{\sin \gamma }$ = $\frac{\mathrm{AC}}{\sin (\alpha +\gamma )}$; AB = $\frac{b•\sin \gamma }{\sin (\alpha +\gamma )}$.

∆ABD. $\frac{\mathrm{BD}}{\sin \alpha }$ = $\frac{\mathrm{AD}}{\sin \frac{\alpha +\gamma }{2}}$;

BD = $\frac{\mathrm{AD}•\sin \alpha }{\sin \frac{\alpha +\gamma }{2}}$ = $\frac{b•\sin \gamma •\sin \alpha }{2\sin \frac{\alpha +\gamma }{2}•\sin \frac{\alpha +\gamma }{2}•\cos \frac{\alpha -\gamma }{2}}$;

BD = $\frac{b•\sin \alpha •\sin \gamma }{\sin (\alpha +\gamma )•\cos \frac{\alpha -\gamma }{2}}$.