Відповіді до вправ підручника: 16.36

16.36. У трикутнику ABC відомо, що ∠C = 90°, AC = 1, BC = $\sqrt{2}$.

Доведіть, що його медіани AK і CM перпендикулярні.

∆ABC; AC = 1; BC = $\sqrt{2}$; MC i AK – медіани.

Нехай $\overline{\mathrm{CA}}$ = $\bar{a}$, $\overline{\mathrm{CB}}$ = $\bar{b}$, $\overline{\mathrm{CM}}$ = $\frac{1}{2}\bar{a}$ + $\frac{1}{2}\bar{b}$.

$\overline{\mathrm{AK}}$ = –$\bar{a}$ + $\frac{1}{2}\bar{b}$.

CM = $\frac{1}{2}$AB = $\frac{1}{2}\sqrt{2+1}$ = $\frac{\sqrt{3}}{2}$;

$\bar{a}$ • $\bar{b}$ = 0, ∠C = 90°;

$\overline{\mathrm{CM}}$• $\overline{\mathrm{AK}}$= ($\frac{1}{2}\bar{a}$ + $\frac{1}{2}\bar{b}$) = –$\frac{1}{2}\bar{a}$² + $\frac{1}{4}\bar{a}$ • $\bar{b}$ – $\frac{1}{2}\bar{a}$ • $\bar{b}$ + $\frac{1}{4}\bar{b}$² = –$\frac{1}{2}$ • 1 + 0 + $\frac{1}{4}$ • ($\sqrt{2}$)² = –$\frac{1}{2}$ + $\frac{1}{2}$ = 0.

$\overline{\mathrm{CM}}$ • $\overline{\mathrm{AK}}$ = 0, отже, кут між медіанами АК і СМ дорівнює 90°, АК ⊥ СМ.