Відповіді до вправ підручника: 16.37

16.37. У чотирикутнику ABCD діагоналі AC і BD перпендикулярні

та перетинаються в точці O. Відомо, що OB = OC = 1, OA = 2, OD = 3. Знайдіть кут між прямими AB і DC.

ABCD — чотирикутник; AC ⊥ BD.

ОВ = ОС = 1, ОА = 2, OD = 3.

Нехай $\overline{\mathrm{OB}}$ = $\bar{b}$; $\overline{\mathrm{OC}}$ = $\bar{c}$; $\overline{\mathrm{AB}}$ = 2$\bar{c}$ + $\bar{b}$;

$\overline{\mathrm{DC}}$ = 3$\bar{b}$ + $\bar{c}$.

$\overline{\mathrm{AB}}$ • $\overline{\mathrm{DC}}$ = (2$\bar{c}$ + $\bar{b}$)(3$\bar{b}$ + $\bar{c}$) = 7$\bar{b}\bar{c}$ + 2$\bar{c}$² + 3$\bar{b}$² = 7|$\bar{b}$| • |$\bar{c}$| • cos90° + 2|$\bar{c}$|² + З|$\bar{b}$|² = 0 + 2 • 1 + 3 • 1 = 5.

$\overline{\mathrm{AB}}$ • $\overline{\mathrm{DC}}$ = |$\overline{\mathrm{AB}}$| • |$\overline{\mathrm{DC}}$| • cos ∠($\overline{\mathrm{AB}}$; $\overline{\mathrm{DC}}$);

cos ∠($\overline{\mathrm{AB}}$; $\overline{\mathrm{DC}}$) = $\frac{\overline{\mathrm{AB}}•\overline{\mathrm{DC}}}{\left|\overline{\mathrm{AB}}\right|•\left|\overline{\mathrm{DC}}\right|}$ = $\frac{5}{\sqrt{5}•\sqrt{10}}$ = $\frac{1}{\sqrt{2}}$; ∠($\overline{\mathrm{AB}}$; $\overline{\mathrm{DC}}$) = 45°.

Відповідь: 45°.