Відповіді до вправ підручника: 21.24

21.24. Середини сторін правильного дванадцятикутника сполучили

через одну так, що отриманою фігурою є правильний шестикутник.

Знайдіть сторону даного дванадцятикутника, якщо сторона

утвореного шестикутника дорівнює а.

АС, BD, АВ — сторона правильного дванадцятикутника.

MN — сторона правильного шестикутника. МN = а.

О — центр многокутників.

ОМ = R — радіус описаного кола навколо шестикутника. ОМ = а.

OK ⊥ MN; MK = $\frac{a}{2}$; ∆MOK;

OK² = a² – $\frac{a^2}{4}$ = $\frac{{3a}^2}{4}$; OK = $\frac{a\sqrt{3}}{2}$;

KP = OР – OK = $\frac{2a-a\sqrt{3}}{2}$;

AE = KP. АЕ ⊥ МN.

∆АЕМ. ∠А = 60°; ∠Е = 90°; ∠M = 30°; МА = 2ЕР = 2а – a$\sqrt{3}$; МА = СА;

АС = 2МА = 4а – 2а$\sqrt{3}$ = 2а(2 – $\sqrt{3}$).

Відповідь: 2а(2 – $\sqrt{3}$).