Вправи для повторення розділу 4: 47

47. У круговий сектор, дуга якого містить 60°, вписано коло радіуса r см, як показано на малюнку 1 (коло дотикається до радіусів і дуги, що обмежують сектор). Знайдіть площу сектора.

У круговий сектор вписано коло. $\cup$ACB = $\angle$АОВ = 60°, СD = DК = r — радіус вписаного кола. Його центр D належить бісектрисі АС кута АОВ. Нехай АО = СО = ВО = х. Тоді DО = СО – DС = R – r.

У ∆ОDK: DK $\perp$ ВО як радіус проведений у точку

дотику. $\angle$DOK = $\frac{1}{2}\angle$АОВ = 30°.

Отже, DO = $\frac{\mathrm{DK}}{\sin \mathrm{DOK}}$ = 2DK = 2r, тобто R – r = 2r, звідки R = 3r.

S_60° = $\frac{{\pi R}^2}{360}$ • 60 = $\frac{{\pi \left(3r\right)}^2}{6}$ = $\frac{{9\pi r}^2}{6}$ = $\frac{{3\pi r}^2}{2}$ (см²).

Відповідь: $\frac{{3\pi r}^2}{2}$ см₂.