Вправи для повторення розділу 4: 48

48. Навколо круга радіуса r розташовано чотири однакових круги, кожний з яких дотикається до даного круга, і кожні два сусідніх круга дотикаються між собою (мал.2). Знайдіть площу одного із цих кругів.

Чотири однакових кола з центрами O₁, О₂, О₃ і О₄ дотикаються п’ятого кола з центром О₅ і радіусом r. Відомо, що точка дотику двох кіл лежить на прямій, що з’єднує центри. Крім того, ця пряма перпендикулярна дотичній, проведеній в точку дотику. Таким чином, точки O₁, O₅ і O₃ лежать на одній прямій. Розглянемо ∆O₁O₃O₄. $\angle$O₁O₃O₄ = 90°.

O₁O₄ = O₄O₃ = 2R, де R — радіус більшого кола.

O₁O₃ = R + 2r + R = 2R + 2r.

За теоремою Піфагора O₁$O_3^2$ = O₁$O_4^2$ + O₁$O_3^2$.

(2R + 2r)² = (2R)² + (2R)²; 4R² + 8Rr + 4r² = 4R² + 4R²;

4R² – 8Rr – 4r² = 0; R² – 2Rr – r² = 0.

Розв’яжемо квадратне рівняння відносно R.

D = (–2r)² – 4 • (–r²) = 4r² + 4r² = 8r²;

R = $\frac{2r+\sqrt{{8r}^2}}{2}$ = r + $\sqrt{2}$r = r(1 + $\sqrt{2}$).

S = πR² = π(r + $\sqrt{2}$r)² = π(r² + 2$\sqrt{2}$r² + 2r²) = π(3r² + 2$\sqrt{2}$r²) = πr²(3 + 2$\sqrt{2}$).

Відповідь: πr²(3 + 2$\sqrt{2}$).