Вправи для повторення розділу 4: 50

50. У крузі радіуса R по різні боки від центра проведено дві

паралельні між собою хорди, одна з яких стягує дугу 60°, друга – 120°. Знайдіть площу частини круга, що міститься між хордами.

АВ і СD — хорди, АВ ∥ СD,

АО = ВО = СО = DО = R; ∠AOB = 60°;

∠СОD = 120°. Площа частини круга, що міститься між хордами, дорівнює різниці площі круга і двох сегментів, які відрізають хорди АВ і СD.

S₁ = $\frac{{\pi R}^2}{360}$ • 60 – $\frac{1}{2}$R²$\frac{\sqrt{3}}{2}$ = $\frac{{\pi R}^2}{6}$ – $\frac{\sqrt{3}{R}^2}{4}$;

S₂ = $\frac{{\pi R}^2}{360}$ • 120 – $\frac{1}{2}$R² sin 120° = $\frac{{\pi R}^2}{3}$ – $\frac{\sqrt{3}{R}^2}{4}$.

S_кр = πR². Отже, S = πR² – ($\frac{{\pi R}^2}{6}$ – $\frac{\sqrt{3}{R}^2}{4}$ + $\frac{{\pi R}^2}{3}$ – $\frac{\sqrt{3}{R}^2}{4}$) = πR² – ($\frac{{\pi R}^2}{2}$ – $\frac{2\sqrt{3}{R}^2}{4}$) = πR² – $\frac{1}{2}$ πR² + $\frac{\sqrt{3}{R}^2}{2}$ = $\frac{1}{2}$ πR² + $\frac{\sqrt{3}{R}^2}{2}$ = $\frac{R^2}{2}$(π + $\sqrt{3}$).

Відповідь: $\frac{R^2}{2}$(π + $\sqrt{3}$).