Відповіді на вправи § 25 - 33: 30.9

30.9. У правильній трикутній піраміді (див. мал. 30.2) кут AQB = 90°, AQ = а. Знайдіть: 1) бічну поверхню піраміди; 2) повну поверхню піраміди.

Дано: QABC – правильна піраміда;

AQ = a; $\angle$AQB = 90$°$.

Знайти: 1) S_б.; 2) S_n.n.

Розв’язання

1) S_AQB = $\frac{1}{2}$QA • QB = $\frac{1}{2}$ • a • a = $\frac{a^2}{2}$.

S_б. = 3 • S_AQB = 3 • $\frac{a^2}{2}$ = 1,5a².

2) S_n.n. = S_б. + S_осн.

$∆$AQB ($\angle$Q = 90$°$): AB = a$\sqrt{2}$.

S_осн. = $\frac{{\mathrm{AB}}^2\sqrt{3}}{4}$ = $\frac{{\left(a\sqrt{2}\right)}^2\sqrt{3}}{4}$ = $\frac{a^2•2\sqrt{3}}{4}$ = $\frac{a^2\sqrt{3}}{2}$.

S_n.n. = $\frac{3}{2}$a² + $\frac{a^2\sqrt{3}}{2}$ = $\frac{a^2}{2}$(3 + $\sqrt{3}$).

Відповідь: 1) 1,5а²; 2) $\frac{a^2}{2}$(3 + $\sqrt{3}$).