Відповіді на вправи § 25 - 33: 30.11

30.11. Основою чотирикутної піраміди є прямокутник зі сторонами 12 см і 16 см. Усі бічні ребра піраміди дорівнюють 26 см. 1) Доведіть, що основою висоти піраміди є точка перетину діагоналей основи.

2) Знайдіть об’єм піраміди.

Дано: QABCD – піраміда; АВ = 12 см;

ВС = 16 см. QA = QB = QC = QD = 26 см.

Довести: основа висоти т. О є точкою перетину діагоналей.

Знайти: V.

Розв’язання

$∆$QOA = $∆$QOB = $∆$QOC = $∆$QOD – за гіпотенузою і катетом.

Отже, ОА = ОВ = ОС = OD як відповідні сторони рівних трикутників. Тому О – центр описаного кола.

У прямокутнику такою точкою є точка перетину діагоналей.

Отже, основа висоти т. О є точка перетину діагоналей основи.

V = $\frac{1}{3}$S_осн • h; S_осн = AB • BC = 12 • 16 = 195 (см²).

$∆$ABC ($\angle$B = 90$°$):

AC = $\sqrt{{\mathrm{AB}}^2+{\mathrm{BC}}^2}$ = $\sqrt{{12}^2+{16}^2}$ = $\sqrt{144+256}$ = $\sqrt{400}$ = 20 (см).

АО = $\frac{1}{2}$АС = $\frac{1}{2}$ • 20 = 10 (см).

$∆$QOA ($\angle$O = 90$°$):

QO = $\sqrt{{\mathrm{QA}}^2-{\mathrm{AO}}^2}$ = $\sqrt{{26}^2-{10}^2}$ = $\sqrt{676-100}$ = $\sqrt{576}$ = 24 (см).

V = $\frac{1}{3}$ • 192 • 24 = 192 • 8 = 1536 (см³).

Відповідь: 1536 см³.