Відповіді на вправи § 25 - 33: 30.14

30.14. Катети прямокутного трикутника дорівнюють a см і b см. Знайдіть відношення площ, на які ділить трикутник висота, проведена до гіпотенузи.

Дано: $∆$АВС ($\angle$С = 90$°$); АС = а; BC = b.

CH – висота.

Знайти: $\frac{S_{\mathrm{ACH}}}{S_{\mathrm{BCH}}}$.

Розв’язання

S_ACH = $\frac{1}{2}$AH • CH; S_BCH = $\frac{1}{2}$HB • CH.

$\frac{S_{\mathrm{ACH}}}{S_{\mathrm{BCH}}}$ = $\frac{\frac{1}{2}\mathrm{AH}•\mathrm{CH}}{\frac{1}{2}\mathrm{HB}•\mathrm{CH}}$ = $\frac{\mathrm{AH}}{\mathrm{HB}}$;

За метричним співвідношенням у $∆$АВС.

АС² = АВ • АН; a² = AB • AH; AH = $\frac{a^2}{\mathrm{AB}}$.

BC² = AB • HB; b² = A • HB; HB = $\frac{b^2}{\mathrm{AB}}$.

$\frac{S_{\mathrm{ACH}}}{S_{\mathrm{BCH}}}$ = $\frac{\frac{a^2}{\mathrm{AB}}}{\frac{b^2}{\mathrm{AB}}}$ = $\frac{a^2•\mathrm{AB}}{\mathrm{AB}•b^2}$ = $\frac{a^2}{b^2}$.

Відповідь: a²; b².