Відповіді на вправи § 25 - 33: 30.16

30.16. У прямокутний трикутник з катетами 3 см і 4 см вписано

квадрат так, що дві його вершини належать гіпотенузі, а дві інші – катетам. Знайдіть сторону квадрата.

Дано: KMPL – квадрат, вписаний в $∆$АВС;

$\angle$С = 90$°$; ВС = 3 см; АС = 4 см.

Знайти: PL.

Розв’язання

$∆$АВС ($\angle$С = 90$°$) – єгипетський; АВ = 5 см.

S_ABC = $\frac{1}{2}$AC • BC = $\frac{1}{2}$ • 4 • 3 = 6 (см²).

Проведемо висоту СН. S_ABC = $\frac{1}{2}$AB • CH.

CH = $\frac{2S_{\mathrm{ABC}}}{\mathrm{AB}}$ = $\frac{2•6}{5}$ = $\frac{12}{5}$ = 2,4 (см).

Нехай сторона квадрата дорівнює х см.

$∆$МСК $~$ $∆$ВСА (за двома кутами).

За властивістю подібних трикутників:

$\frac{\mathrm{CE}}{\mathrm{CH}}$ = $\frac{\mathrm{MK}}{\mathrm{AB}}$; $\frac{\mathrm{CH}-x}{\mathrm{CH}}$ = $\frac{x}{\mathrm{AB}}$; $\frac{\mathrm{2,4}-x}{\mathrm{2,4}}$ = $\frac{x}{5}$;

5(2,4 – x) = 2,4x;

12 – 5x = 2,4x;

7,4x = 12 |: 7,4;

x = $\frac{12}{\mathrm{7,4}}$ = $\frac{120}{74}$ = $\frac{60}{37}$ = 1$\frac{23}{37}$ (см).

Відповідь: 1$\frac{23}{37}$ см.