Відповіді на вправи § 25 - 33: 30.13

30.13. Один з кутів паралелограма удвічі менший від іншого. Знайдіть меншу діагональ паралелограма, якщо сторони паралелограма дорівнюють 5 см і 8 см.

Дано: ABCD – паралелограм;

$\angle$A < $\angle$B в 2 рази; АВ = 5 см; AD = 8 см.

Знайти: BD.

Розв’язання

Нехай $\angle$А = х; $\angle$В = 2х.

За властивістю паралелограма:

$\angle$А + $\angle$В = 180$°$;

x + 2x = 180$°$;

3x = 180;

x = 60$°$; $\angle$A = 60$°$; $\angle$B = 2 • 60$°$ = 120$°$.

За теоремою косинусів з $∆$DAB:

BD² = AB² + AD² – 2 • AB • AD • cos A = 5² + 8² – 2 • 5 • 8 • cos 60$°$ = 25 + 64 – 2 • 40 • $\frac{1}{2}$ = 89 – 40 = 49.

BD = $\sqrt{49}$ = 7 (см).

Відповідь: 7 см.