Відповіді на вправи § 18 - 24: 19.16

19.16. Запишіть рівняння прямої, яка симетрична прямій 2х – у + 5 = 0 відносно: 1) початку координат; 2) точки O(1; 3).

2х – у + 5 = 0; у = 2х + 5.

Візьмемо дві точки А і В, що належать цій прямій. Наприклад, якщо

х = 1, то у = 7; якщо х = –2, то у = 1. Тобто А(1; 7), В(–2; 1).

1) Знайдемо координати точок А’ і В’, симетричних точкам А і В відносно початку координат, враховуючи, що точки (0; 0) — середина відрізків АА’ і ВВ’.

0 = $\frac{1+x}{2}$; x = –1; 0 = $\frac{7+y}{2}$; y = –7; A’(–1; –7).

0 = $\frac{-2+x}{2}$; x = 2; 0 = $\frac{1+y}{2}$; y = –1; B’(2; –1).

Складемо рівняння прямої, що проходить через точки А’ і В’:

$\frac{x-(-1)}{2-(-1)}$ = $\frac{y-(-7)}{-1-(-7)}$; $\frac{x+1}{2+1}$ = $\frac{y+7}{6}$; 6(x + 1) = (y + 7) • 3;

6х + 6 = Зу + 21; 2х + 2 = у + 7; 2х – у – 5 = 0.

Відповідь: 2х – у – 5 = 0.

2) Знайдемо координати точок А’ і В’, симетричних точкам А і В відносно точки O(1; 3).

1 = $\frac{1+x}{2}$; x = 1; 3 = $\frac{7+y}{2}$; y = –1; A’(1; –1).

1 = $\frac{-2+x}{2}$; x = 4; 3 = $\frac{1+y}{2}$; y = 5; B’(4; 5).

Рівняння прямої А’B’: $\frac{x-1}{4-1}$ = $\frac{y-(-1)}{5-(-1)}$; $\frac{x-1}{3}$ = $\frac{y+1}{6}$; 6x – 6 = 3y + 3;

2x – 2 = y + 1; 2x – y – 3 = 0.

Відповідь: 2x – y – 3 = 0.