Відповіді на вправи § 15 - 17: 17.36

17.36. Знайдіть площі зафарбованих фігур на малюнках 17.8 – 17.10, якщо сторона квадрата дорівнює а.

1) S_кв = а². Чотири не заштриховані сектори складуть круг радіуса $\frac{а}{2}$, його площа πr² = π • $\frac{a^2}{4}$. Тоді площа заштрихованої фігури

a² – $\frac{a^2\pi }{4}$ = $\frac{{4a}^2-a^2\pi }{4}$ = $\frac{a^2(4-\pi )}{4}$.

Відповідь: $\frac{a^2(4-\pi )}{4}$.

2) S_кв = а². Не зафарбована фігура складається з двох секторів круга радіуса а, обмежених хордою, довжина якої дорівнює діагоналі квадрата, центральний кут α = 90°. Тоді площа одного сегмента:

$\frac{\pi a^2}{360}$ • 90 – $\frac{1}{2}$a² • sin 90° = $\frac{\pi a^2}{4}$ – $\frac{a^2}{2}$ = $\frac{\pi a^2-{2a}^2}{4}$ = $\frac{a^2(\pi -2)}{4}$.

Площа незафарбованої частини: $\frac{a^2(\pi -2)}{2}$. Тоді площа зафарбованої частини: a² – $\frac{a^2(\pi -2)}{2}$ = $\frac{{2a}^2-a^2(\pi -2)}{2}$ = $\frac{{2a}^2-\pi a^2+{2a}^2}{2}$ = $\frac{a^2(4-\pi )}{2}$.

Відповідь: $\frac{a^2(4-\pi )}{2}$.

3) Зафарбована фігура утворена з 4–х «пелюсток», кожна з яких, як і на мал. 17.10, утворена з двох сегментів круга радіуса $\frac{а}{2}$, де α = 90°. Площа одного сегмента:

$\frac{\pi •(\frac{a}{2}{)}^2}{360}$ • 90 – $\frac{1}{2}$($\frac{a}{2}$)² = $\frac{\pi a^2}{4•360}$ • 90 – $\frac{a^2}{8}$ = $\frac{\pi a^2}{16}$ – $\frac{a^2}{8}$ = $\frac{a^2(\pi -2)}{16}$.

Площа зафарбованої фігури: 8 • $\frac{{а}^2(\pi -2)}{16}$ = $\frac{{а}^2(\pi -2)}{2}$.

Відповідь: $\frac{{а}^2(\pi -2)}{2}$.