Відповіді на вправи § 15 - 17: 17.34

17.34. Знайдіть площу круга, вписаного в рівнобічну трапецію, основи якої дорівнюють 5 см і 3 см.

ABCD — трапеція (ВС ∥ AD), АВ = CD, ВС = 3 см, AD = 5 см.

Проведемо BF ⊥ AD і CN ⊥ AD — висоти трапеції. ∆ABF = ∆DCN (за гіпотенузою і гострим кутом), тоді AF = ND.

FBCN — прямокутник, FN = ВС = 3 см,

тоді AF = $\frac{\mathrm{AD}-\mathrm{BC}}{2}$ = $\frac{5-3}{2}$ = 1 (см). Оскільки в трапецію ABCD можна вписати коло, то АВ + CD = ВС + AD, але АВ = CD, тоді 2АВ = ВС + AD, АВ = $\frac{\mathrm{BC}+\mathrm{AD}}{2}$ = $\frac{5+3}{2}$ = 4 (см).

З ∆АВF: ВF = h = $\sqrt{{\mathrm{AB}}^2-{\mathrm{AF}}^2}$ = $\sqrt{4^2-1^2}$ = $\sqrt{15}$ (см).

Радіус вписаного кола дорівнює половині висоти трапеції:

r = $\frac{1}{2}$ВF = $\frac{\sqrt{15}}{2}$ (см). Тоді площа круга: S = πr² = π • ($\frac{\sqrt{15}}{2}$) = $\frac{15\pi }{4}$ (см²).

Відповідь: $\frac{15\pi }{4}$ (см²).