Відповіді на вправи § 15 - 17: 17.35

17.35. У рівнобічну трапецію вписано круг, площа якого дорівнює

48π см². Знайдіть площу трапеції, якщо її гострий кут дорівнює 60°.

ABCD — трапеція, AD ∥ BC, AB = CD.

∠А = ∠D = 60°. Площа вписаного кола 48π cм².

Тоді його радіус r² = $\frac{48\pi }{\pi }$;

r = ОР = $\sqrt{48}$ = $\sqrt{16•3}$ = 4$\sqrt{3}$ (см).

h = 2r = 2 • 4$\sqrt{3}$ = 8$\sqrt{3}$ (см).

У ∆АОР ∠OAP = $\frac{1}{2}$∠A = 30° (∆AОR = ∆АОР за катетом і гіпотенузою). Отже, АР = $\frac{\mathrm{OP}}{\mathrm{tg}30°}$ = ОР$\sqrt{3}$ • 4$\sqrt{3}$ • $\sqrt{3}$ = 12 (см), AD = 2АР = 24 см.

Проведемо ВН ⊥ AD, тоді НВКР — прямокутник.

Нехай HP = ВК = х. см, тоді АН = АР – х = 12 – х (см).

З ∆АВН: АВ = $\frac{\mathrm{AH}}{\cos 30°}$ = 2АH = 24 – 2х (см).

Оскільки в трапецію вписано коло, то АВ + CD = ВС + AD, де ВС = 2х. Тоді (24 – 2х) • 2 = 2х + 24; 48 – 4х = 2х + 24; 24 = 6х; х = 4. Отже, ВС = 2 • 4 = 8 см.

S_ABCD = $\frac{\mathrm{AD}+\mathrm{BC}}{2}$ • ВH = $\frac{24+8}{2}$ • 8$\sqrt{3}$ = 128$\sqrt{3}$ (см²).

Відповідь: 128$\sqrt{3}$ см².