Відповіді на вправи § 11 - 14: 13.20

13.20. З точки до прямої проведено дві похилі, відстань між основами яких 7 см. Одна з них дорівнює 5 см і утворює з прямою кут 60°. Знайдіть другу похилу (з точністю до сотих см), кут між похилими та кут, що утворює друга похила з прямою (з точністю до градуса). Скільки випадків слід розглянути?

І випадок.

Похилі розміщені по один бік від

перпендикуляру AD. АВ = 5 cм, $\angle$ABD = 60°. Розглянемо випадок, коли друга похила АС більша за АВ. Тоді ВС = 7 cм, $\angle$АВС = 180° – $\angle$АВС = 180° – 60° =120°. За теоремою косинусів АС² = АВ² + ВС² – 2АВ • ВС • cos ABC = 5² + 7² – 2 • 5 • 7 • cos 120° = 25 + 49 + 70 cos 60° $\approx$ 74 + 70 • 0,5 ≈ 109,

AC = $\sqrt{109}$ $\approx$ 10,44 (см). $\frac{\mathrm{BC}}{\sin \mathrm{BAC}}$ = $\frac{\mathrm{AC}}{\sin \mathrm{ABC}}$;

sin BAC = $\frac{\mathrm{BC}•\sin \mathrm{ABC}}{\mathrm{AC}}$ = $\frac{7•\sin 120°}{\mathrm{10,44}}$ $\approx$ $\frac{7•\mathrm{0,866}}{\mathrm{10,44}}$ $\approx$ 0,5807, $\angle$BAC $\approx$ 35°.

$\angle$ACB = 180° – ($\angle$ВАС + $\angle$ABC) = 180° – (35° + 120°) = 25°.

Відповідь: 10,44 cм, 35°, 25°.

Нехай друга похила AK менша за АВ. Тоді ВК = 7 см.

АК² = АВ² + ВК² – 2АВ • ВК cos АВК = 5² + 7² – 2 • 5 • 7 • cos 60° $\approx$ 25 + 49 – 70 • 0,5 $\approx$ 39; АК $\approx$ 6,24 (см). Але 6,24 > 5, отримали суперечність. Отже, такий випадок неможливий.

II випадок.

АС² = АВ² + ВС² – 2АВ • ВС • cos ABC $\approx$ 25 + 49 – 2 • 5 • 7 • 0,5 ≈ 39;

AC = $\sqrt{39}$ $\approx$ 6,24 см. $\frac{\mathrm{AC}}{\sin \mathrm{ABC}}$ = $\frac{\mathrm{AB}}{\sin \mathrm{ACB}}$;

sin ACB = $\frac{\mathrm{AB}•\sin \mathrm{ABC}}{\mathrm{AC}}$ = $\frac{5•\sin 60°}{\mathrm{6,24}}$ $\approx$ $\frac{5•\mathrm{0,866}}{\mathrm{6,24}}$ ≈ 0,6839;

$\angle$ACB $\approx$ 44°. $\angle$ВАС = 180° – ($\angle$ABC + $\angle$ACB) ≈ 180° – (60° + 44°) $\approx$ 76°.

Відповідь: 6,24 cм, 44°, 76°.