Відповіді на вправи § 11 - 14: 13.19

13.19. З точки до прямої проведено дві похилі, які утворюють з прямою кути 50° і 70°. Відстань між основами похилих дорівнює 6 см. Знайдіть кут між похилими та довжини похилих із точністю до сотих сантиметра. Скільки випадків слід розглянути?

Можливі два випадки.

І випадок.

$\angle$АВС = 180° – $\angle$ABD = 180° – 70° = 110° (як суміжні);

$\angle$САВ = 180° – ($\angle$АСВ + $\angle$АВС) = 180° – (110° + 50°) = 20°.

За теоремою синусів $\frac{\mathrm{BC}}{\sin \mathrm{CAB}}$ = $\frac{\mathrm{AC}}{\sin \mathrm{ABC}}$;

АС = $\frac{\mathrm{BC}•\sin \mathrm{ABC}}{\sin \mathrm{CAB}}$ = $\frac{6•\sin 110°}{\sin 20°}$ $\approx$ $\frac{6•\mathrm{0,9397}}{\mathrm{0,342}}$ $\approx$ 16,49 (см).

$\frac{\mathrm{BC}}{\sin \mathrm{CAB}}$ = $\frac{\mathrm{AB}}{\sin \mathrm{ACB}}$; AB = $\frac{\mathrm{BC}•\sin \mathrm{ACB}}{\sin \mathrm{CAB}}$ = $\frac{6•\sin 50°}{\sin 20°}$ $\approx$ $\frac{6•\mathrm{0,766}}{\mathrm{0,342}}$ $\approx$ 13,44 (см).

Відповідь: 20°, 16,49 cм, 13,44 cм.

II випадок.

$\angle$ВАС = 180° – ($\angle$ABC + $\angle$АСВ) = 180° – (70° + 50°) = 60°.

$\frac{\mathrm{BC}}{\sin \mathrm{BAC}}$ = $\frac{\mathrm{AB}}{\sin \mathrm{ACB}}$;

AB = $\frac{\mathrm{BC}•\sin \mathrm{ACB}}{\sin \mathrm{BAC}}$ = $\frac{6•\sin 50°}{\sin 60°}$ $\approx$ $\frac{6•\mathrm{0,766}}{\mathrm{0,866}}$ ≈ 5,31 (см).

$\frac{\mathrm{BC}}{\sin \mathrm{BAC}}$ = $\frac{\mathrm{AC}}{\sin \mathrm{ABC}}$; AC = $\frac{\mathrm{BC}•\sin \mathrm{ABC}}{\sin \mathrm{BAC}}$ = $\frac{6•\sin 70°}{\sin 60°}$ $\approx$ $\frac{6•\mathrm{0,9397}}{\mathrm{0,866}}$ $\approx$ 6,51 (см).

Відповідь: 60°, 5,31 см, 6,51 см.