Відповіді на вправи § 11 - 14: 12.36

12.36. У трикутнику ABC $\angle$C = 90°. Розв’яжіть трикутник, якщо:

1) $\angle$B = 90° – $\angle$A = 90° – 30° = 60°.

CB = $\frac{1}{2}$АВ = $\frac{1}{2}$ • 8 = 4 (см) (катет лежить проти кута 30°).

АС = $\sqrt{{\mathrm{AB}}^2-{\mathrm{CB}}^2}$ = $\sqrt{8^2-4^2}$ = $\sqrt{64-16}$ = $\sqrt{48}$ = 4$\sqrt{3}$ (см).

Відповідь: $\angle$В = 60°, СВ = 4 см, АС = 4$\sqrt{3}$ см.

2) $\angle$A = $\angle$B = 45°, тоді ВС = АС = 4 см.

АВ = $\sqrt{{\mathrm{AC}}^2+{\mathrm{BC}}^2}$ = $\sqrt{4^2+4^2}$ = $\sqrt{2•4^2}$ = 4$\sqrt{2}$ (см).

Відповідь: $\angle$А = 45°, ВС = 4 см, АВ = 4$\sqrt{2}$ см.

3) $\angle$B = 90° – $\angle$A = 90° – 60° = 30°. Тоді АС = $\frac{1}{2}$АВ, звідки АВ = 2АС = 2 • 10 = 20 (см).

ВС = $\sqrt{{\mathrm{AB}}^2-{\mathrm{AC}}^2}$ = $\sqrt{{20}^2-{10}^2}$ = $\sqrt{400-100}$ = $\sqrt{300}$ = 10$\sqrt{3}$ (см).

Відповідь: $\angle$B = 30°, АВ = 20 см, ВС = 10$\sqrt{3}$ см.

4) АВ = $\sqrt{{\mathrm{AC}}^2+{\mathrm{BC}}^2}$ = $\sqrt{2^2+{\left(2\sqrt{3}\right)}^2}$ = $\sqrt{4+12}$ = $\sqrt{16}$ = 4 (см).

sin А = $\frac{\mathrm{BC}}{\mathrm{AB}}$ = $\frac{2\sqrt{3}}{4}$ = $\frac{\sqrt{3}}{2}$; $\angle$A = 60°. $\angle$A = 90° – $\angle$A = 30°.

Відповідь: 4 см, 60°, 30°.

5) АС = $\sqrt{{\mathrm{AB}}^2-{\mathrm{BC}}^2}$ = $\sqrt{2^2-{\left(\sqrt{3}\right)}^2}$ = $\sqrt{4-3}$ = 1 (см).

sin В = $\frac{\mathrm{АC}}{\mathrm{AB}}$ = $\frac{1}{2}$, $\angle$B = 30°, $\angle$A = 90° – $\angle$B = 90° – 30° = 60°.

Відповідь: 1 см, 30°, 60°.

6) ВС = 7АВ2 – АС2 = 7б2 – З2 = 7 3 6 – 9 = 725 = 5 (см).

sinB = $\frac{\mathrm{AC}}{\mathrm{AB}}$ = $\frac{3}{6}$ = $\frac{1}{2}$, $\angle$B = 30°, $\angle$A = 90° – $\angle$A = 90° – 30° = 60°.

Відповідь: 5 см, 30°, 60°.